넘어간 페이지에 있는 j某3님이 올린 수학 문제: closed 정답은 구할 수 없음
- 작성일
- 11-10-31 23:11
1>a>b>0 에서
f(a,b)=[[{(1/2)-(1/2a)-ln(b/a)}*(b^2)]+(1-a)*b] 의 최대값을 구하는 문제였죠?
최대/최소값이야 언제나 극점 아니면 경계점에 나타난다는 건 아실 거라 믿고.
1. 먼저 경계점에서 어찌 되나 봅니다.
1) b=0에선 저 함수는 무조건 0.
2) a=b에서 a=1/2일 때 최대값 1/8
3) a=1에서 a=1/\sqrt{e}일 때 최대값 1/(2e)
2. 내부에서 어찌 되나 봅니다.
f는 정의역에서 미분가능하므로 내부에 극점이 있다면 그래디언트가 0일 겁니다. 즉 D_1f=D_2f=0.
D_1f=0이 되는 (a,b)의 관계를 구해보면 b=(2a^2+a )/(2a+1) 인데,
D_2f=0이 되는 (a,b)를 직접 구하기는 어려우므로(실은 불가능)
f(a,b)에 b대신 위 a에 대한 함수를 직접 대입하여 MAPLE을 이용하여 그래프를 그려봅니다.
근데, 이 때 나오는 최대값이 위 경계에서 나오는 최대값 1/(2e)와 거의 차이가 없어서 육안으로 최대를 결정하기가 만만치 않네요.-_-;;
(미세하게나마 내부 최대값이 쪼끔은 더 커보이긴 합니다만, 제눈이 삐꾸일 수도 있음)
암튼간에,
어디서 최대값이 나오는지가 궁금하면 D_2f(a,b)에 저 관계식을 대입해서 그려보는 수밖에 없습니다. 여기에 수치해석적인 방법을 동원하여(별게 아니라, 테일러 다항식 등을 동원하여 답을 어림짐작한다는 얘기죠) 근사값 정도 구하는 선에서 마무리지어야 합니다.
답이 영 맘에 안 들죠? 어쩔 수 없어요-_-;;;
애당초 참값을 구하는게 '불가능'한 문제입니다. 그래서 log 같은 함수를 '초월함수'라고 부르는 것이니.............
f(a,b)=[[{(1/2)-(1/2a)-ln(b/a)}*(b^2)]+(1-a)*b] 의 최대값을 구하는 문제였죠?
최대/최소값이야 언제나 극점 아니면 경계점에 나타난다는 건 아실 거라 믿고.
1. 먼저 경계점에서 어찌 되나 봅니다.
1) b=0에선 저 함수는 무조건 0.
2) a=b에서 a=1/2일 때 최대값 1/8
3) a=1에서 a=1/\sqrt{e}일 때 최대값 1/(2e)
2. 내부에서 어찌 되나 봅니다.
f는 정의역에서 미분가능하므로 내부에 극점이 있다면 그래디언트가 0일 겁니다. 즉 D_1f=D_2f=0.
D_1f=0이 되는 (a,b)의 관계를 구해보면 b=(2a^2+a )/(2a+1) 인데,
D_2f=0이 되는 (a,b)를 직접 구하기는 어려우므로(실은 불가능)
f(a,b)에 b대신 위 a에 대한 함수를 직접 대입하여 MAPLE을 이용하여 그래프를 그려봅니다.
근데, 이 때 나오는 최대값이 위 경계에서 나오는 최대값 1/(2e)와 거의 차이가 없어서 육안으로 최대를 결정하기가 만만치 않네요.-_-;;
(미세하게나마 내부 최대값이 쪼끔은 더 커보이긴 합니다만, 제눈이 삐꾸일 수도 있음)
암튼간에,
어디서 최대값이 나오는지가 궁금하면 D_2f(a,b)에 저 관계식을 대입해서 그려보는 수밖에 없습니다. 여기에 수치해석적인 방법을 동원하여(별게 아니라, 테일러 다항식 등을 동원하여 답을 어림짐작한다는 얘기죠) 근사값 정도 구하는 선에서 마무리지어야 합니다.
답이 영 맘에 안 들죠? 어쩔 수 없어요-_-;;;
애당초 참값을 구하는게 '불가능'한 문제입니다. 그래서 log 같은 함수를 '초월함수'라고 부르는 것이니.............
